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Possono esistere situazioni tali da richiedere l'utilizzo di una funzione che interpoli dei punti derivati dall'acquisizione di grandezze fisiche o altri processi. Solitamente per questo tipo di problemi vengono utilizzate le funzioni polinomiali, per la facilità di gestione sia numerica che analitica.
Il teorema dell'approssimazione di Weierstrass afferma che ogni funzione continua può essere approssimata, con l'accuratezza voluta, da un polinomio di grado sufficientemente elevato.
Inoltre, i polinomi sono utili in tutti casi in cui il sistema da analizzare non abbia scala naturale, e una traslazione rispetto all'asse x, ad esempio p(x) -> p(kx), non cambia il grado del polinomio.
Un problema comune può essere: date (n+1) coppie di valori (xi, yi), i= 0,...,n occorre trovare il polinomio di grado minimo tale per cui si abbia p(xi)=yi.
Se si assumono come ai di coefficienti del polinomio, le condizioni di interpolazione portano la scrittura di un sistema lineare del tipo Ba=y.
La soluzione del sistema è unica se per y=0 si ha la sola soluzione banale a=0. In questo caso, si y è il vettore nullo significa che il polinomio interpolante va leggero in ogni punto di interpolazione. Ma siccome questo polinomio è di grado n, non può avere (n+1) zeri, l'unica soluzione è quindi che a sia il vettore nullo. Questo conferma che sistema ha un'unica soluzione.
La matrice B è detta matrice di Vandermonde, ed è creata dai monomi xk, con k=0,...,n.
Polinomio interpolante di Newton
I polinomi interpolanti di Newton si costruiscono secondo uno schema iterativo. Il polinomio di grado zero è una costante che corrisponde al primo valore che si desidera interpolare e viene chiamato p0(x).
Supponendo di conoscere il polinomio interpolante pk-1(x) di grado (k-1), il polinomio successivo pk(x) si trova secondo il metodo:
formula del polinomio interpolante di Newton
La costante ck deve essere tale da ottenere:
pk(xk) = yk = pk-1(x) + ck (x-x0)*...*(x-xk-1)
Dopo pochi passaggi si giunge alla conclusione.
Il polinomio interpolante di newton di grado k è pari a:
Dove ci è:
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